การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
เมื่อ อังคาร, 09/03/2010 - 10:47 | แก้ไขล่าสุด จันทร์, 10/02/2014 - 22:12| โดย 
stnwilailuk
1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0
ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x2 + bx + c
สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากการหาผลคูณ ( x +2 )( x + 3 ) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ]
= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)
= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]
= (x + 2)x + (x + 2)(3)
= (x + 2)(x + 3)
นั่นคือ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้
1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
= (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]
= x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)
= x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
= x2 + 5x + 6
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6 ได้ดังนี้ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
ให้สังเกตว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2+ 5x + 6 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน
ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ 5
(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
= x2 + (-1)x + (-20)
= x2 - x - 20
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x2 - x - 20 ได้ดังนี้ x2 - x - 20 = (x + 4)(x – 5)
จากการหาผลคูณ (x + 4)(x -5) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x2- x – 20
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้
x2- x – 20 = x2 + (-1)x + (-20)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5) [4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= (x + 4)x + (x + 4)(-5)
= (x + 4)[x + (-5)]
= (x + 4)(x -5)
นั่นคือ x2 - x - 20 = (x + 4)(x - 5)
ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2- x – 20 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม
สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ -20 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ -1
จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้ ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เช่น x2+ 6x + 8
เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 8 และบวกกันได้ 6 ก่อน ดังนี้
เนื่องจาก x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4)x + (2)(4)
= x2 + (2x + 4x) + (2)(4)
= (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]
= (x + 2)x + (x + 2)(4)
= (x + 2)(x + 4)
นั่นคือ x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป x2 + bx + c เมื่อ b , c เป็นจำนวนเต็ม
และ c ≠ 0 ได้ ถ้าเราสามารถหา จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ c และบวกกันได้
เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b
ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b
จะได้ว่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 10x + 21
วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21
และ (-3) + (-7) = -10
ดังนั้น x2 – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]
นั่นคือ x2 – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x - 6
วิธีทำ เนื่องจาก (-1)(6) = - 6
และ (-1) + (6) = 5
ดังนั้น x2 + 5x - 6 = [ x + (-1)][ x + 6 ]
นั่นคือ x2 + 5x - 6 = ( x - 1 )( x + 6 )
ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 2x - 24
วิธีทำ เนื่องจาก (4)(-6) = - 24
และ (4) + (-6) = -2
ดังนั้น x2 - 2x - 24 = ( x + 4 ) [ x + (-6)]
นั่นคือ x2 - 2x - 24 = ( x + 4 )( x - 6 )
ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x + 1
วิธีทำ เนื่องจาก (1)(1) = 1
และ (1) + (1) = 2
ดังนั้น x2 + 2x + 1 = ( x + 1 )( x + 1)
ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 4x + 4
วิธีทำ เนื่องจาก (-2)(-2) = 4
และ (-2) + (-2) = -4
ดังนั้น x2 - 4x + 4 = [ x + (-2)][ x + (-2)]
นั่นคือ x2 - 4x + 4 = ( x - 2 )( x - 2 )
ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 9
วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(3) = -9
และ (-3) + 3 = 0
ดังนั้น x2 - 9 = [ x + (-3)]( x + 3)
นั่นคือ x2 - 9 = ( x - 3 )( x + 3 )
สำหรับพหุนามดีกรีสอง เช่น x2 + 3x + 1 เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 1
และบวกกันได้ 3 ดังนั้น เราจึงไม่สามารถเขียนพหุนาม x2 + 3x + 1 ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง
ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ เราไม่สามารถแยกตัวประกอบของ x2 + 3x + 1 ได้
โดยทั่วไปแล้ว ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + bx + c เมื่อ b , c เป็นจำนวนเต็ม และ
c ≠ 0 ถ้าเราไม่สามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับ c และบวกกันได้เท่ากับ b เราก็ไม่สามารถ
แยกตัวประกอบของ x2 + bx + c ออกเป็นตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง
ช่วยกันนะครับ
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ
ไม่ถูกปิดเสียก่อน
ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ
ด่วน...... ขณะนี้
พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับที่ 2) พ.ศ. 2558
มีผลบังคับใช้แล้ว
ขอให้นักเรียนและคุณครูที่ใช้งาน
เว็บ thaigoodview ในการส่งการบ้าน
ระมัดระวังการละเมิดลิขสิทธิ์ด้วย
อ่านรายละเอียดที่นี่ครับ
