อนุกรม หน้า1
อนุกรม
บทนิยาม ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมจำกัด
ทำนองเดียวกัน ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น ลำดับอนันต์ จะ เรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่า อนุกรมอนันต์
1. ความหมายของอนุกรมและสัญลักษณ์แทนการบวก
กำหนด a1, a2, a3, … , an เป็นลำดับจำกัด
จะได้ a1 + a2 + a3 + … + an เป็นอนุกรมจำกัด
และ เมื่อ a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับอนันต์
จะได้ a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็นอนุกรมอนันต์
จากบทนิยาม จะได้ว่า อนุกรมจำกัดมาจากลำดับจำกัด และอนุกรมอนันต์มาจากลำดับอนันต์
จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + …
เรียก a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม
a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม
an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม
2. ตัวอย่างของอนุกรม
1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็น อนุกรมจำกัด
ที่ได้จากลำดับจำกัด 1, 3, 5, 7, …, 99
2. 1 + 2 + 4 + … + 2n-1 + … เป็น อนุกรมอนันต์
ที่ได้จากลำดับอนันต์ 1, 2, 4, …, 2n-1 , …
อนุกรมเลขคณิต
ความหมายของอนุกรมเลขคณิต
กำหนด a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต
d เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n
ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต
1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็น อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 1, 3, 5, …, 99 เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 2
2. 25 + 20 + 15 + 10 + … เป็น อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 25, 20, 15, 10, … เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5
3. 7 + 14 + 21 + 28 + … เป็น อนุกรมเลขคณิต
เพราะว่า 7, 14, 21, 28, … เป็น ลำดับเลขคณิต
และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 7
บทนิยาม
อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต
จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์
จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ที่มี a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นผลต่างร่วม จะได้
Sn = a1 + (a1 + d) + … + [a1+(n – 2)d] + [a1+(n –1)d] -----(1)
หรือ Sn= [a1 + (n –1)d] + [a1 + (n – 2)d] + … + (a1 + d) + a1 -----(2)
สมการ (1)+(2) จะได้
2Sn = [2a1 + (n –1)d] + [2a1 + (n –1)d] + … + [2a1 + (n –1)d] (n พจน์ )
2Sn = n[2a1 + (n –1)d]
# ความสัมพันธ์ # ฟังก์ชัน # ตรรกศาสตร์
# ลำดับ # อนุกรม # ความน่าจะเป็น
# สถิติ # สมการและอสมการ # แหล่งอ้างอิง
# ผู้จัดทำ # แบบทดสอบ