การนำไปใช้

         มนุษย์กับสิ่งแวดล้อมมีความสัมพันธ์ต่อกัน มนุษย์สังเกตปรากฎการณ์ทางธรรมชาติต่างๆ โดยเฉพาะในเรื่องดาราศาสตร์ เพราะเป็นเรื่องที่พบเห็นทุกวันเริ่มตั้งแต่การขึ้น ตก ของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดวงดาวต่างๆ หากเราสังเกตการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งดวงดาวต่างๆ เมื่อเทียบกับเวลาต่างๆ ในรอบปี เราจะพบกับสิ่งที่ชวนคิดหลาย ๆอย่าง เช่น ดวงอาทิตย์ขึ้นตำแหน่งเดียวกันตลอดทั้งปีหรือไม่ ทำไมแต่ละวันดวงอาทิตย์จึงขึ้นจากขอบฟ้าไม่ตรงเวลาเดียวกัน ความคิดในเรื่องทรงกลมท้องฟ้าที่มองเห็นทำให้เกิดจินตนาการ และหาหนทางเรียนรู้ โดยใช้วิชาการทางคณิตศาสตร์

         
ต้นตำรับความคิดทางตรีโกณมิติ จึงมาจากสามเหลี่ยมทรงกลมท้องฟ้า ความสำคัญในเรื่องการคำนวณเกี่ยวข้องกับทรงกลมมีมาก่อนการนำมาใช้ในเรื่องสามเหลี่ยมแนวราบ โดยสามารถนำเอาหลักการทางตรีโกณมิติมาใช้แก้ปัญหา

          ภายหลังความผูกพันในเรื่องทรงกลมในสมัยเริ่มต้นมีหลักฐานว่า ฮิปพาร์ชุส (Hipparchus) ได้เขียนตารางตรีโกณมิติไว้ตั้งแต่เมื่อ140 ปี ก่อนคริสตกาล ตารางการคำนวณในสมัยนั้นเน้นการหาความยาวส่วนโค้งของวงกลม เมื่อวงกลมมีรัศมีหนึ่งหน่วย จากตารางที่แสดงให้เห็นว่า เมื่อค่า θ มีค่าต่างๆ กัน ค่าของส่วนโค้งจะแปรเปลี่ยนไป และสิ่งที่น่าสนใจคือค่าของที่ได้มีค่าเท่ากับ 2sin( /2) ตารางที่ฮิปพาร์ชุสเขียนไว้ได้สูญหายไปหมด ซึ่งจะเห็นว่า ตัวเลขที่เป็นธรรมชาติมีหลายตัวและมีการค้นคว้ากันมาเรื่อยๆ ต่อมามีการแบ่งมุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็น 360 องศา และจากแนวความคิดนี้ พโทเลมีนำเอามุม 360 องศา และแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นส่วน 120 ส่วน และคำนวณอัตราส่วนของเส้นรอบรูปต่อเส้นผ่านศูนย์กลางได้ค่าเป็น ในยุคแรกๆ กำหนดให้มีค่าโดยประมาณเท่ากับ 3

-  ความคิดเชิงทฤษฎีเรขาคณิตจึงเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง มีการสร้างทฤษฎีทางเรขาคณิตที่ว่าด้วย เส้น มุม ส่วนโค้งของวงกลม ทำให้การคำนวณเจริญก้าวหน้ามาเป็นลำดับ

- ตัวเลขธรรมชาติที่เกี่ยวกับ sin x, cos x และ tan x จึงเป็นที่รู้จักกันแพร่หลายและนำมาใช้ประโยชน์ พโทเลมียังทราบความสัมพันธ์ของ sin2x + cos2x = 1และสามารถพิสูจน์ความจริงนี้ได้    

- จากความคิดในเรื่องส่วนโค้งของวงกลมและรัศมี  ทำให้การคิดคำนวณหาค่าของสัดส่วนทางตรีโกณมิติ ในเวลาต่อมาในรูป
ของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งก็คือสัดส่วนของด้านต่างๆ  และพิจารณาเฉพาะสามเหลี่ยมมุกฉากเท่านั้น ทำให้วิชาตรีโกณมิติสมัยใหม่จึงเน้นเฉพาะรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีสัดส่วนที่สำคัญเช่นเดียวกับหลักการทางด้านวงกลม และส่วนโค้ง คือ
ค่าของ sin  คือ  อัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุม กับด้านตรงข้ามมุมฉาก
ค่าของ cosin  คือ  อัตราส่วนระหว่างด้านประชิดมุม กับด้านตรงข้ามมุมฉาก
ค่าของ tangent  คือ  อัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุม กับด้านประชิดมุม

การใช้งานจึงเน้นไปที่เรขาคณิต และการหาผลลัพธ์ของมุมและเส้นที่มีพัฒนาการต่อเนื่องและนำมาใช้ในชีวิตประจำวัน ลองนึกดูว่าชีวิตความเป็นอยู่ของเราเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตอยู่มาก ทฤษฎีที่เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิต เป็นเรื่องที่มีมานานแล้ว และมีการนำมา  ประยุกต์ใช้งานได้มากมาย

-  อัตราส่วนตร๊โกณมิติจึงมีประโยชน์มาก  โดยเฉพาะการหาความยาว  ความสูงและอื่น ๆ อีกมาก  สำหรับในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 จะเน้นหนักในเรื่องของการหาความสูงและระยะทาง

-  มุมก้มมุมเงย

- มุมก้มหรือมุมกดลง เป็นมุมที่เกิดจากเส้นระดับตาเราทำกับเส้นที่ลากจากลูกตาไปยังวัตถุซึ่งอยู่ต่ำกว่าระดับตา
- มุมเงยหรือมุมยกขึ้น  เป็นมุมที่เกิดจากเส้นระดับตาทำกับเส้นที่ลากจากลูกตา ซึ่งอยู่ต่ำกว่าระดับตาไปยังวัตถุ

ตัวอย่าง     คุณจีน่ายืนอยู่ริมคลองสมถวิลที่จุดจุดหนึ่ง เขามองไปที่ต้นไม้ต้นหนึ่ง  ซึ่งอยู่อีกฝั่งของคลองสมถวิลมุมตั้งฉากกับ เขาพอดีจากนั้นเขาเดินเรียบฝั่งเป็นแนวเส้นตรงไปอีก 10 เมตร  แล้วหยุดจุด
ที่คุณจีน่ายืนใหม่นี้ทำมุมกับต้นไม้ต้นเดิม  65  องศาพอดี  ถามว่าคลองสมถวิลกว้างเท่าใด

วิธีทำ    ตามแนวคิดการแก้ปัญหาที่กล่าวมาแล้วข้างบนเราจะดำเนินการดังนี้

1.เราจะสร้างรูปสามเหลี่ยมขึ้นมาจะได้ดังรูปซ้ายมือ

2. หาอัตราส่วนตรีโกณมิติที่สัมพันธ์กับที่โจทย์กำหนดให้และตามที่โจทย์ต้องการทราบ