ห้ามลบ ขอให้เจ้าของผลงานประกวด แก้ไขข้อมูลได้จนถึงวันที่ 31 ธันวาคม 2551 เวลา 23.30 น.
หากเลยกำหนดเวลาดังกล่าวแล้ว ท่านเข้ามาแก้ไขข้อมูล ถือว่าโมฆะในการพิจารณาได้รับรางวัล
ซึ่งระบบของ Thaigoodview สามารถตรวจสอบได้ว่า ผลงานแต่ละชิ้น มีการแก้ไขเวลาใดบ้าง
ครูพูนศักดิ์ สักกทัตติยกุล

ความน่าจะเป็น (Probability) 
ประวัติ
ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน ซึ่งเกิดจากการแก้ปัญหาของ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวฝรั่งเศา 2 ท่าน คือ ปาลกาล (Pascal) และแฟร์มมาต์ (Fermat) ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 เดอ เมเร เป็นขุนนางในราชสำนักและวงสังคมชั้นสูงของฝรั่งเศส ในสมัยนั้นมีผู้นิยมเล่นการพนันกันมาก เดอ เมเร เป็นผู้หนึ่งที่นิยมเล่นการพนันมาก ปัญหาของท่านที่นำไปถามปาสกาลจึงเป็นปัญหาที่เกี่ยวกับการเล่นการพนัน ซึ่งมีอยู่ 2 ปัญหา ความจริงหนึ่งในสองของปัญหาของ เดอ เมเร นั้นได้ปรากฏมาก่อนแล้วเมื่อปลายคริสต์ศตวรรษที่ 15 ประมาณปี ค.ศ. 1494 พาซีโอลี (Pacioli) ได้เสนอปัญหาของแต้ม ชายสองคนเล่นการพนันกัน และชายสองคนนี้มีฝีมือเท่าเทียมกัน แต่ต้องเลิกเล่นกลางคันก่อนที่จะมีคนชนะ ถ้าทราบจำนวนของแต้มที่กำหนดไว้ว่าจะชนะ และทรายจำนวนเต็มที่ทำให้ของแต่ละคน ปัญหาคือ จะแบ่งเงินพนันกันอย่างไร
ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลาย และมีนักคณิตศาสตร์หลายท่านรวมทั้ง คาร์ดาโน (F.Cardano, ค.ศ. 1444-1524 และทาร์ทาเกลีย (N.Tartaglia, ค.ศ. 1506-1557) ที่พยายามหาคำตอบแต่ได้ผลที่ไม่ดีนัก และปัญหานี้ถูกนำเสนอให้ปาสกาล โดยเดอ เมเร ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ปาลกาลให้ความสนใจกับปัญหานี้มาก และท่านได้นำไปถ่ายทอดให้แฟร์มาต์  

ความหมาย
ในชีวิตประจำวันทุกคนเคยได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ความน่าจะเป็นนี้สามารถไปใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

การทดลองสุ่ม (Random Experiment) และ เหตุการณ์ (Events)
การทดลองสุ่ม (Random Experiment)
การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไร จากเหตุผลทั้งหมดที่เป็นไปได้เหล่านั้น ตัวอย่างเช่น

1. การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง ผลที่จะเกิดขึ้นได้ คือ ขึ้นหัว หรือ ขึ้นก้อย    

ดังรูป  

ดังนั้น ผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นคือ หัว ก้อย 

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ คือหน้าหัว หรือ หน้าก้อย

2. การทดลองลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง แต้มที่จะเกิดขึ้นได้ คือ แต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6    ซึ่งไม่สามารถบอกได้ว่าจะเป็นแต้มอะไรใน 6 แต้มนี้

ดังนั้นผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นคือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 

 
3. การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่อง ซึ่งมี 5 ลูก 5 สี ดังรูป    ลูกปิงปองที่หยิบได้อาจจะเป็น ลูกปิงปองสีขาว ฟ้า แดง เขียว หรือส้ม

ตัวอย่างการทดลองสุ่ม
1. ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

คือหน้าหัว หรือ หน้าก้อย

2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ 

คือ แต้ม 1,2,3,4,5 หรือ 

เหตุการณ์ (Events)
เหตุการณ์ (Events) คือ ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากการทดลองสุ่ม
นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษ ตัวพิมพ์ใหญ่แทนเหตุการณ์ ตัวอย่าง เช่น

1. โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้งจงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะออกหัว
อย่างน้อย 1 ครั้ง

          การหาผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง
โดยใช้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้

         ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT
ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH  

2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้งต้องการให้เกิดแต้มคู่ 

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ จากการทดลองสุ่ม มี 6 แบบ คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6
ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดแต้มคู่มี 3 แบบ คือ 2 , 4 และ 6 

 
ตัวอย่างเหตุการณ์
1. ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง

ต้องการหน้าหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง
ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH   

2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง

ต้องการให้เกิดแต้มคู่
ผลลัพธ์ ที่เกิดขึ้น คือ 2, 4, 6

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้

เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กำหนดให้ E     แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n(E)  แทน จำนวนสมาชิกของเดหตุการณ์
S      แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
n(S)  แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

                                                 ดังนั้น  

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 

2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน เท่ากับ 1

3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ  0

 ตัวอย่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
1. การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง

จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อย อย่างน้อย 2 เหรียญ
ให้ H แทน หัว T แทน ก้อย 
การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมี 8 แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่าเมื่อโยนเหรียญแล้วจะขึ้นหน้าใด ถ้าเหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น มี 4 แบบ คือ HTT, THT, TTH และ TTT
ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ 

 เท่ากับ

2. การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก 1 ครั้ง

 จากกล่องใบหนึ่งมีลูกปิงปอง
สีแดง 4 ลูก สีขาว 4 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีส้ม 6 ลูก ปะปนกันอยู่
ด.ญ.สุรีย์พรสุ่มหยิบลูกปิงปองจากกล่องใบนี้ขึ้นมา 1 ลูก
จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีส้ม 
จากโจทย์ เราสามารถหาผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม

หยิบลูกปิงปองทั้ง 5 สี จากกล่องใบนี้มา 1 ลูก คือ 4 + 4 + 3 + 3 + 6 = 20 ลูก
ดังนั้นจำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ 20 หรือ n(S) = 20
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ ด.ญ.สุรีย์พร สุ่มหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปอง
สีส้ม 6 ลูก
จะได้ n(E) = 6

เนื่องจาก 

จะได้ว่า  

ความน่าจะเป็นที่ ด.ญ.สุรีย์พร สุ่มหยิบลูกปิงปองสีส้มได้   

ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ
          จากการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นสามารถช่วยให้เรารู้ว่าเหตุการณ์
ที่พิจารณาอยู่นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์ความรู้
เรื่องความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียว อาจไม่เพียงพอที่จะช่วยเราตัดสินใจได้ จำเป็นจะต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจด้วย ซึ่งองค์ประกอบหนึ่ง
คือ ผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น ในทางสถิติได้นำความน่าจะเป็นของ
เหตุการณ์และผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น
พิจารณาประกอบกันเป็นค่าคาดหมาย ซึ่งหาได้จากผลรวมของ
ผลคูณระหว่างความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของเหตุการณ์

ค่าคาดหมาย

= (ผลตอบแทนที่ได้ X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดขึ้น) +
(ผลตอบแทนที่เสีย X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ต้องการให้เกิดขึ้น)

          โดยผลตอบแทนของเหตุการณ์อาจหมายถึง ผลตอบแทนที่ได้หรือผลตอบแทนที่เสีย เช่น ในการโยนเหรียญหัว ก้อย ถ้าออกหัวผู้เล่นจะได้เงิน 2 บาท แต่ถ้าออกก้อยผู้เล่นจะต้องเสียเงิน 3 บาท
แสดงว่า เงิน 2 บาทที่ผู้เล่นจะได้รับเป็นผลตอบแทนที่ได้ แทนด้วย
+2 และเงิน 3 บาทที่ผู้เล่นจะต้องเสียเป็นผลตอบแทนที่เสียซึ่งแทนด้วย -3

ตัวอย่างความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ
สลากกินแบ่งรัฐบาล