ห้ามลบ ขอให้เจ้าของผลงานประกวด แก้ไขข้อมูลได้จนถึงวันที่ 31 ธันวาคม 2551 เวลา 23.30 น.
หากเลยกำหนดเวลาดังกล่าวแล้ว ท่านเข้ามาแก้ไขข้อมูล ถือว่าโมฆะในการพิจารณาได้รับรางวัล
ซึ่งระบบของ Thaigoodview สามารถตรวจสอบได้ว่า ผลงานแต่ละชิ้น มีการแก้ไขเวลาใดบ้าง
ครูพูนศักดิ์ สักกทัตติยกุล

---

  แบบรูป (Pattern)           

     ความหมายของแบบรูปโดยทั่วไป หมายถึง ลักษณะพิเศษ หรือการทำซ้ำรูปร่าง หรือระบบของการจัดการ ในทางคณิตศาสตร์ แบบรูป (Pattern) เป็นความสัมพันธ์ที่แสดงลักษณะสำคัญร่วมกันของชุดของจำนวน หรือรูปเรขาคณิต หรืออื่น ๆ

     ในเมื่อแบบรูปเป็นเรื่องของความสัมพันธ์ ดังนั้นเนื้อหาจึงกำหนดไว้ในสาระที่ 4 พีชคณิต และมาตรฐานการเรียนรู้ มาตรฐาน ค 3.1: อธิบายและวิเคราะห์แบบรูป (Pattern) ความสัมพันธ์และฟังก์ชันต่าง ๆ ได้ โดยมีกิจกรรมการเรียนรู้ คือ การสังเกต สำรวจ คาดการณ์ และให้เหตุผล แต่ถ้าเป็นหลักสูตรเก่าเนื้อหาเรื่องแบบรูปโดยตรงไม่มี แต่จะพบโจทย์เกี่ยวกับแบบรูปในลักษณะ โจทย์ฝึกสมอง คณิตคิดสนุก ที่ครูอาจจะตั้งคำถามเชิงท้าทายให้ค้นหาคำตอบหรือค้นหาและอธิบายความสัมพันธ์ของโจทย์

     แบบรูปและความสัมพันธ์  

      ในระดับช่วงชั้นที่ 3 กำหนดมาตรฐานการเรียนรู้ช่วงชั้นไว้ว่า วิเคราะห์แบบรูปที่กำหนดให้ และเขียนความสัมพันธ์จากแบบรูปที่กำหนดให้โดยใช้ตัวแปรได้ ลองดูแบบรูปของจำนวนอย่างง่าย ๆ

สถานการณ์ปัญหาที่ 1 กล่องมหัศจรรย์ในห้องคณิตศาสตร์กล่องหนึ่ง  เมื่อใส่จำนวน 12 ลงไป  กลไกภายในกล่องทำงานส่งจำนวน 19 ออกมา นักเรียนทราบหรือไม่ว่ากลไกภายในกล่องทำงานอย่างไร

นักเรียนอาจจะตอบว่า กลไกทำงานโดยบวกเพิ่มอีก 7  หรือกลไกทำงานโดยคูณ 2 แล้วลบออก 5 ซึ่งถูกทั้งคู่

       นั่นคือในสถานการณ์ปัญหานี้มีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ 

       สถานการณ์ปัญหาที่ 2  กล่องมหัศจรรย์ในห้องคณิตศาสตร์กล่องหนึ่งเมื่อใส่จำนวนลงไป กลไกภายในกล่องทำงานส่งจำนวนออกมาดังนี้

         จำนวนที่ใส่เข้าไป                  1    2    3    4     ...     10

         จำนวนที่ส่งออกมา                 5    7    9    11   ...      23

       คำถาม 1) ให้นักเรียนคาดการณ์ว่ากลไกในกล่องทำงานอย่างไร  พร้อมทั้งอธิบายเหตุผลในการคาดการณ์

                 2) ถ้าใส่จำนวน 100 เข้าไปในกล่อง จะได้จำนวนใดออกมา

เมื่อพิจารณาจำนวนที่ใส่เข้าไปและส่งออกมาชุดแรก                 คือ 1  และ   5  ความสัมพันธ์ คือ บวก 4

       และเมื่อพิจารณาจำนวนที่ใส่เข้าไปและส่งออกมาชุดที่สอง          คือ 2  และ   7  ความสัมพันธ์ คือ บวก 5

       พิจารณาจำนวนที่ใส่เข้าไปและส่งออกมาชุดที่สาม                   คือ 3  และ   9  ความสัมพันธ์ คือ บวก 6

       พิจารณาจำนวนที่ใส่เข้าไปและส่งออกมาชุดที่สี่                      คือ 4  และ   11 ความสัมพันธ์ คือ บวก 7

      1) นักเรียนอาจตอบว่า กลไกในกล่องทำงานโดยเริ่มบวก 4  บวก 5  บวก 6  บวก 7  ไปเรื่อย ๆ เพราะว่า 

                เมื่อสังเกตความสัมพันธ์ตั้งแต่ชุดที่หนึ่งถึงชุดที่สี่ จะพบว่า มีแบบรูปของจำนวนที่บวก คือ เริ่มคู่แรก บวกด้วย 4 คู่ต่อมาบวกด้วย 5 คู่ต่อมา บวกด้วย 6 คู่ต่อมาบวกด้วย 7 จำนวนที่บวกเข้าไปเพิ่มที่ละ 1 

                ดังนั้นจึงคาดการณ์ว่าในชุดที่ห้า ความสัมพันธ์น่าจะเป็น บวก 8 และชุดถัดไปน่าจะเป็นบวก 9

                แต่ถ้าจะเขียนความสัมพันธ์ในรูปของตัวแปร  ต้องพิจารณาแบบรูปของจำนวนที่ใส่เข้าไปด้วย คือ เมื่อสำรวจจำนวนที่ใส่ลงไปในกล่องมหัศจรรย์ ก็จะพบว่ามีแบบรูปของจำนวนที่ใส่ลงไป คือ เริ่มต้นด้วย 1 ถัดมา เป็น 2, 3 และ 4 ตามลำดับ หรือ อาจจะอธิบายว่าแบบรูปของจำนวนที่ใส่ลงไปคือ จำนวนนับ

                ดังนั้นจึงคาดการณ์ได้ว่าในชุดที่ห้า จำนวนที่ใส่ลงไปในกล่อง น่าจะเป็น 5 และถัดไปน่าจะเป็น 6 ไปเรื่อย ๆ

                และเมื่อกำหนดให้ n แทนจำนวนนับที่ใส่เข้าไป  จะเขียนความสัมพันธ์ของแต่ละชุดโดยใช้ตัวแปร (n)   ได้ ดังนี้

                          ชุดที่หนึ่ง จำนวนที่ใส่เข้า 1 (n = 1)   จำนวนที่ส่งออก 5   ความสัมพันธ์ (1+1+3) = (n+n+3)

                          ชุดที่สอง จำนวนที่ใส่เข้า 2 (n = 2)    จำนวนที่ส่งออก 7   ความสัมพันธ์ (2+2+3) = (n+n+3)

                          ชุดที่สาม จำนวนที่ใส่เข้า 3 (n = 3)    จำนวนที่ส่งออก 9   ความสัมพันธ์ (3+3+3) = (n+n+3)

                          ชุดที่สี่    จำนวนที่ใส่เข้า 4 (n = 4)    จำนวนที่ส่งออก 11  ความสัมพันธ์ (4+4+3) = (n+n+3)

                   จากความสัมพันธ์ ทั้งสี่ชุดที่สามารถเขียนอธิบายในรูปของตัวแปรได้เหมือนกัน คือ (n+n+3) = (2n+3) 

                   จึงสรุปคาดการณ์ได้ว่า กลไกของกล่องมหัศจรรย์ทำงานโดย นำ 2 คูณจำนวนที่ใส่เข้าไป แล้วบวก 3 

 

 

2) คำถามว่าเมื่อใส่จำนวน 100 เข้าไปในกล่อง แล้วจะได้จำนวนใดออกมา นักเรียนอาจจะหาคำตอบโดยการนำความสัมพันธ์ที่เขียนในรูปตัวแปรมาแทนค่า ดังนี้

                                จำนวนที่ใส่เข้าไป 100 (n = 100) แทนค่า n = 100 ใน (2n+3)

                                ได้จำนวนที่ส่งออก คือ  203 

             สถานการณ์ปัญหาที่ 3  กำหนดจำนวน 1, 4, 9, 16, 25, 36 ... จงเขียนความสัมพันธ์ของแบบรูปของจำนวนชุดนี้ในรูปของตัวแปร

             เริ่มต้นจากการกำหนดลำดับที่ของจำนวนที่กำหนดให้             

              ลำดับที่ของจำนวน             1    2     3     4      5     6     ...

             จำนวนที่กำหนด                1    4    9    16    25    36    ...

             ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนที่กำหนด      

                                                               1   ไป   4    บวกเพิ่ม    3

                                                               4   ไป   9    บวกเพิ่ม    5

                                                               9   ไป   16   บวกเพิ่ม    7

                                                               16  ไป   25   บวกเพิ่ม   9

                                                               25  ไป   36    บวกเพิ่ม  11

                      เมื่อสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนที่กำหนดให้  จะเห็นว่า จำนวนที่บวกเข้าไป เพิ่มทีละ 2 เริ่มจากบวกเพิ่ม 3  ต่อมาบวกเพิ่ม 5 บวกเพิ่ม 7 บวกเพิ่ม 9 บวกเพิ่ม 11 ตามลำดับ

 ดังนั้นจึงคาดการณ์ว่า ลำดับที่ 7 น่าจะบวกเพิ่ม 13  

                       เมื่อให้ n แทนจำนวนนับในลำดับที่ ที่กำหนด สามารถเขียนอธิบายความสัมพันธ์ โดยใช้ตัวแปร n ได้ ดังนี้

                       ลำดับที่ 1 (n = 1)   จำนวนที่กำหนด 1     ความสัมพันธ์  (1²)   =   (n²) 

                       ลำดับที่ 2 (n = 2)   จำนวนที่กำหนด 4     ความสัมพันธ์  (2²)   =   (n²)

                       ลำดับที่ 3 (n = 3)   จำนวนที่กำหนด 9     ความสัมพันธ์  (3²)   =   (n²)

                       ลำดับที่ 4 (n = 4)   จำนวนที่กำหนด 16    ความสัมพันธ์  (4²)   =   (n²)

                       ลำดับที่ 5 (n = 5)   จำนวนที่กำหนด 25    ความสัมพันธ์  (5²)   =   (n²)

                       ลำดับที่ 6 (n = 6)   จำนวนที่กำหนด 36    ความสัมพันธ์  (6²)   =   (n²)

             คำตอบข้อนี้ คือ เขียนความสัมพันธ์ของแบบรูปของจำนวน ได้เป็น  n²

 

 

           สถานการณ์ปัญหาที่ 4  กำหนดจำนวน 2, 6, 12, 20, 30 ... จงเขียนความสัมพันธ์ของแบบรูปของจำนวนชุดนี้ในรูปของตัวแปร

           ใช้วิธีเดียวกับสถานการณ์ปัญหาที่ 3 

                    ลำดับที่ของจำนวน     1     2     3     4     5       ...

                    จำนวนที่กำหนด        2     6    12    20    30     ...

               ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนที่กำหนด

                                                 2   ไป   6   บวกเพิ่ม     4

                                                 6   ไป   12  บวกเพิ่ม    6

                                                 12  ไป   20  บวกเพิ่ม   8

                                                  20  ไป  30  บวกเพิ่ม   10

                         เมื่อสังเกตความสัมพันธ์ของจำนวนที่กำหนดให้ จะเห็นว่า จำนวนที่บวกเข้าไป เพิ่มทีละ 2  เริ่มจาก บวกเพิ่ม 4 ต่อไปบวกเพิ่ม 6 บวกเพิ่ม 8 บวกเพิ่ม 10 ตามลำดับ เหมือนกับการเพิ่มในสถานการณ์ปัญหาที่ 3

                          ดังนั้นจึงคาดการณ์ว่า ลำดับที่ 6 น่าจะบวกเพิ่ม 12 ได้จำนวนลำดับถัดไปเป็น 42

                          เมื่อให้ n แทนจำนวนนับในลำดับที่ ที่กำหนด  สามารถเขียนอธิบายความสัมพันธ์โดยใช้ตัวแปร n ได้ดังนี้

                            ลำดับที่ 1 (n = 1)   จำนวนที่กำหนด 2      ความสัมพันธ์ (1²+1)  =  (n²+n)

                            ลำดับที่ 2 (n = 2)   จำนวนที่กำหนด 6      ความสัมพันธ์ (2²+2)  =  (n²+n)

                            ลำดับที่ 3 (n = 3)   จำนวนที่กำหนด 12     ความสัมพันธ์ (3²+3)  =  (n²+n)

                            ลำดับที่ 4 (n = 4)   จำนวนที่กำหนด 20     ความสัมพันธ์ (4²+4)  =  (n²+n)

                            ลำดับที่ 5 (n = 5)   จำนวนที่กำหนด 30     ความสัมพันธ์ (5²+5)  =  (n²+n)

                 คำตอบข้อนี้ คือ เขียนความสัมพันธ์ของแบบรูปของจำนวนชุดนี้ได้เป็น  n²+n

 

     ข้อสังเกต 

                  สถานการณ์ปัญหาที่ 3 และสถานการณ์ปัญหาที่ 4 มีลำดับการสังเกตแบบรูปของจำนวนในทำนองเดียวกัน คือ

                  1) โจทย์กำหนดจำนวนมาชุดเดียว ต่างจากสถานการณ์ปัญหาที่ 1 กับสถานการณ์ปัญหาที่ 2

                  2) กำหนดลำดับที่ของจำนวนที่กำหนดให้ 

                  3) หาความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนที่กำหนดให้  พบว่า บวกเพิ่มทีละ 2 เหมือนกันแต่จำนวนเริ่มต้นต่างกัน

                  4) ความสัมพันธ์ของแบบรูปของจำนวน มี n² เป็นตัวหลัก     

 

          สถานการณ์ปัญหาที่ 5  กำหนดจำนวน 3, 6, 9, 12...จงเขียนความสัมพันธ์ของแบบรูปของจำนวนชุดนี้ในรูปของตัวแปร

            ลำดับที่ของจำนวน      1     2     3     4    ...

            จำนวนที่กำหนด         3      6     9    12   ...

ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนที่กำหนด

                                          3  ไป   6   บวกเพิ่ม  3

                                          6  ไป   9   บวกเพิ่ม  3

                                          9  ไป   12  บวกเพิ่ม  3

เมื่อสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนที่กำหนดให้ จะเห็นว่าจำนวนที่บวกเข้าไปเท่ากัน คือ บวก 3 ทุกครั้ง

                       ดังนั้นจึงคาดการณ์ว่า จำนวนที่ 5 จะต้องบวกด้วย 3 ได้จำนวนในลำดับถัดไปเป็น 15

เมื่อให้ n แทนจำนวนนับในลำดับที่ ที่กำหนด  สามารถเขียนอธิบายความสัมพันธ์โดยใช้ตัวแปร n ดังนี้

                       ลำดับที่ 1 (n = 1) จำนวนที่กำหนด 3 ความสัมพันธ์    (3*1)  =  (3n)

                       ลำดับที่ 2 (n = 2) จำนวนที่กำหนด 6 ความสัมพันธ์    (3*2)  =  (3n)

                       ลำดับที่ 3 (n = 3) จำนวนที่กำหนด 9 ความสัมพันธ์    (3*3)  =  (3n)

                       ลำดับที่ 4 (n = 4) จำนวนที่กำหนด 12 ความสัมพันธ์   (3*4)  =  (3n)

                            คำตอบข้อนี้ คือ  เขียนความสัมพันธ์ของแบบรูปของจำนวนชุดนี้ได้เป็น 3n